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. 大数的运算

1. 大数的运算原理

RSA算法依赖于大数的运算，目前主流RSA算法都建立在512位到1024位的大数运算之上，所以我们首先需要掌握大数(比如1024位)的运算原理。

大多数的编译器只能支持到32位(或64位)的整数运算，即我们在运算中所使用的整数必须小于等于32位，即0xFFFFFFFF，这远远达不到RSA的需要，于是需要专门建立大数运算库，来解决这一问题。

最简单的办法是将大数当作字符串进行处理，也就是将大数用10进制字符数组进行表示，然后模拟人们手工进行“竖式计算”的过程编写其加减乘除函数。但是这样做效率很低。当然其优点是算法符合人们的日常习惯，易于理解。

另一种思路是将大数当作一个二进制流进行处理，使用各种移位和逻辑操作来进行加减乘除运算，但是这样做代码设计非常复杂，可读性很低，难以理解也难以调试。

这里我们采用了一种介于两者之间的思路：将大数看作一个N进制数组，对于目前的32位系统而言，N可以取2的'32次方，即 0x100000000，假如将一个1024位的大数转化成0x10000000进制，它就变成了32位，而每一位的取值范围是0- 0xFFFFFFFF。我们正好可以用一个无符号长整数来表示这一数值。所以1024位的大数就是一个有32个元素的unsigned long数组。而且0x100000000进制的数组排列与2进制流对于计算机来说，实际上是一回事，但是我们完全可以针对unsigned long数组进行“竖式计算”，而循环规模被降低到了32次之内，并且算法很容易理解。

但考虑到乘法和除法，都要进行扩展才能进行快速的计算(如果把除法变减法而不扩展，速度将慢的无法忍受)。所以我们将N取2的16次方的，即 0xFFFF。每一位用unsigned short来表示，当进行乘除运算时，将short扩展成long，这是编译器所支持的，所以运算起来，比较快。

2. 大数的各种运算

这些运算都是常见的，同时也是常用的。要实现RSA算法，就必须先实现大数的这些运算。

1) 大数的比较。两个无符号或有符号的大数进行大小比较。大数和一般整数进行比较。大于，等于，小于，返回值各异，以区别比较结果。

2) 大数的赋值。将一个大数的值，符号等，逐位赋给另一个大数。将一般整数的值，符号等赋给一个大数。

3) 大数的加法。两个大数从低位到高位逐位相加，要考虑到进位的问题。或大数与一般整数的相加。

4) 大数的减法。两个大数从低位到高位逐位相减，要考虑到借位的问题。或大数与一般整数的相减。

5) 大数的乘法。两个大数的乘法，从一个大数的低位到高位，逐位与另一个大数相乘，然后将结果低位对齐相加，要考虑进位，类似于普通的竖式乘法。或大数与一般整数的乘法。

6) 大数的除法。两个大数的除法，从一个大数的高位到低位，逐步与另一个大数相除，要考虑借位，类似于普通的竖式除法。或大数与一般整数的乘法。

7) 大数的取余。两个大数的取余，类似于大数的除法，只是当除到底时，返回的是余数而已，也存在借位的问题。或大数于一般整数的取余。

8) 大数的欧氏算法。它是已知大数A、B，求满足AX≡1 MOD B的X，是最大公约数算法的扩展，同样用辗转相除法。再递归的过程中，两个参数都要用到，到要变化的。具体算法请参考源代码。

9) 大数的蒙氏算法。它是已知大数A、B和C，求X=A^B MOD C的值。要对指数进行逐渐降阶，直到变成2次方，也就是转换成乘法和取余运算。降阶的方法和算法的具体过程，请参考相关书籍和源代码。