一、几何代数化思想的由来
数学的发展是以数和形两个基本概念作为主干的，数学思想方法的各种变革也是通过这两个概念进行的。在数学的萌芽时期，数和形的研究并不是互相割裂的，长度、面积和体积的量度把数和形紧密地联系起来。可是，在尔后的数学发展中，数和形的联系却长期没能得到进一步的深化。这突出表现在几何和代数的不协调性发展上。
我们知道，几何学作为一门独立的数学学科，最先是在古希腊学者手中形成的，欧几里得《几何原本》的问世就是重要的标志。那时，代数尚处于潜科学阶段，尚未形成严谨的逻辑体系，只是以零散、片断的知识形态存在着。因此，从公元前3世纪到14世纪，几何学在数学中占据着主导地位，而代数则处于从属的地位。由于几何学有着严谨的推理方法和直观的图形，可以把种种空间性质、图形关系问题的探讨，归结成一系列基本概念和基本命题来推演、论证，所以数学家们大都喜欢运用几何思维方式来处理数学问题，甚至把代数看成是与几何不相干的学科。这种人为的割裂，不仅延误了代数的发展，也影响了几何学的进步。
随着数学研究范围的扩大，用几何方法来解决数学问题越来越困难，因为许多问题特别是证明问题往往需要高超的技巧才能奏效，而且推演、论证的步骤又显得相当繁难，缺乏一般性方法。正当几何学难于深入进展时，代数学日趋成熟起来。尤其是在16世纪代数学得到突破性进展，不仅形成了一整套简明的字母符号，而且成功地解决了二次、三次、四次方程的求根问题。这就使代数学在数学中的地位逐渐得到上升，于是综合几何思维占统治地位的局面开始被打破。
历史上最先明确认识到代数力量的是16世纪法国数学家韦达。他尝试用代数方法来解决几何作图问题，并隐约出现了用方程表示曲线的思想。他指出，几何作图中线段的加减乘除可以通过代数的术语表出，所以它们实质上属于代数的运算。随着代数方法向几何学的渗透，代数方法的普遍性优点日益表露出来，于是用代数方法来改造传统的综合几何思维，把代数和几何有机结合起来，互相取长补短，便成为十分必要的了。
实现代数与几何有机结合的关键，在于空间几何结构的数量化，即把形与数统一起来。这一项工作是由法国数学家笛卡儿完成的。笛卡儿继承和发展了韦达等人的先进数学思想，他充分看到代数思想的灵活性和方法的普遍性，为寻求一种能够把代数全面应用到几何中去的新方法思考了二十多年。1619年，他悟出建立新方法的关键，在于借助坐标系建立起平面上的点和数对之间的对应关系，由此可用方程来表示曲线。1637年，他的《几何学》作为《方法论》一书的附录出版，在这个附录中，他明确提出了坐标几何的思想，并用于解决许多几何问题。此书的问世，标志着解析几何的诞生。与笛卡儿同一时代、同一国度的另一位数学家费尔马，也几乎同时独立地发现了解析几何的基本原理。他的思想集中体现在他的《轨迹引论》一书中。
解析几何的出现开创了几何代数化的新时代，它借助坐标实现了空间几何结构的数量化，由此把形与数、几何与代数统一了起来。而坐标本身就是几何代数化的产物，是点与数的统一体，它既是点的位置的数量关系表现，又是数量关系的几何直观，因此它具有形与数的二重性。有了坐标概念，就可以把空间形式的研究转化为数量关系的研究了。
例如，求两点间的距离，如果两点的坐标(x1，y1)和(x2，y2) 何学上两点之间的测量问题就转化成代数学上求一个代数式的值的问题。
再如，求两条曲线的交点，这是几何学中比较困难的一个问题，如果两条曲线的方程给定，那么通过解联立方程组就可求出交点的位置，因为方程组的解恰是二条曲线交点的坐标。
随着解析几何的发展，几何代数的内容和方法不断得到丰富。1704年，牛顿运用坐标方法研究了三次曲线，1748年，欧拉在《分析引论》一书中全面而系统地论述了平面解析几何的理论;1788年，拉格朗日又把力、速度和加速度给予了算术化，由此开创了解析几何中的向量理论研究方向。与此同时，坐标概念本身也在不断地丰富，除直角坐标系外，又相继产生了斜坐标、极坐标、柱坐标和球坐标。坐标系也从二维扩展到三维以及多维和无穷维，从而又出现了多维解析几何和无穷维解析几何。由此又导致了代数几何和泛函分析的产生。
二、几何代数化的意义
几何代数化对于数学的发展有着重要的意义，这里仅就几个方面加以分析。
1.把几何学推到一个新的阶段
几何代数化不仅为几何学提供了新方法，使许多难以解决的几何问题变得简单易解，更重要的是为几何学发展注入了新的活力，增添了崭新的内容。
首先，传统几何学的逻辑基础主要是推理，基本上是定性研究，如直线的平行性、曲线的相交、图形的全等等。几何代数化的出现，使得图形性质的研究变成方程的讨论和求解，而方程的研究又主要是数量上的分析，这就把几何学从定性研究阶段推到定量分析阶段。
其次，在传统几何学中，空间概念是在人们的社会实践活动中逐渐抽象和确立起来，这种空间概念具有明显的直观性和经验性，如一维的直线、二维的平面和三维的立体。几何代数化的出现，使得空间的几何结构实现了数量化，而数量化了的空间几何结构已不再局限于一维、二维和三维，它可以是n维以至无穷维的，这就把几何学的空间概念从低维扩张到了高维，即把几何学研究的内容从现实空间图形的性质扩展到抽象空间图形的性质。
第三，传统几何学主要研究固定不变的图形，如各种各样的直线形和曲线形，这些图形虽然可以移动和相互变换，但图形本身的结构却是“死”的，即传统几何学是一种静态几何学。几何代数化的出现，使得曲线变成了具有某种特定性质的点的轨迹，即可把曲线看作是由“点”通过运动而生成的，这就使人们对形的认识由静态发展到了动态。
2.为代数学研究提供了新的工具
几何代数化不仅直接影响和改造了传统的几何学，扩大了几何学的研究对象，丰富和发展了几何学的思想方法，而且也使代数学获得了新的生命力。
首先，几何学的概念和术语进入代数学，使许多代数课题具有了直观性。我们知道，和几何学相比，代数学具有更高的抽象性，许多抽象的代数式和方程使人难以把握它们的现实意义。几何代数化的出现，为抽象的代数式和方程提供了形象而直观的`模型。如可把方程的解看作是曲线的交点的坐标，可把二次方程根与系数关系的研究转化为考察和分析圆锥曲线与坐标轴的相对位置。
其次，几何学思想方法向代数学的移植和渗透，开拓了代数学新的研究领域。如以线性方程（一次方程）为主要对象的线性代数，就是在线性空间概念的基础上构造起来的，这里的“线性”、“空间”等概念并不是代数学本身所固有的，而是从几何学中借用的。
3.为微积分的创立准备了必要条件
几何代数化思想形成的标志是解析几何的创立，笛卡儿在创立解析几何过程中，不仅提出了代数与几何相结合的思想，而且把变数引进了数学。变数的引进，对于数学的发展有着极为重要的意义，特别是为微积分的创立准备了重要工具，加速了微积分形成的历史进程。从这种意义上看，可把解析几何的产生看作是微积分创立的前奏。对此，恩格斯曾高度评价：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了”。
4.为数学的机械化证明提供了重要启示
定理的机械化证明，是现代数学新兴的一个研究领域，从机械化算法上看，它的方法论基础是利用代数方法把推理程序机械化。因此，定理机械化证明的思想渊源可追溯到几何的代数化。关于这一点，我们在6中还要详细介绍。
此外，几何代数化的思想还给数学研究从方法论上提供了许多重要启示。如数学家们把点与数对、曲线与方程相对应的思想加以发展，提出了函数与点、函数集与空间相对应的思想，在此基础上进而创立了泛函分析这一新的理论。
数学思想方法的重大突破 从常量数学到变量数学
文章摘要：17世纪对于数学发展具有重大意义的事件，除了解析几何开辟了几何代数化这一新的方向外，还有微积分的创立使常量数学过渡到变量数学。从常量数学到变量数学，是数学思想方法的又一次重大突破。
【编者按】数学的发展并不是一些新概念、新命题、新方法的简单积累，它包含着数学本身许多根本的变化，也即质的飞跃。历史上发生的数学思想方法的几次重大突破，就充分说明了这一点。
17世纪对于数学发展具有重大意义的事件，除了解析几何开辟了几何代数化这一新的方向外，还有微积分的创立使常量数学过渡到变量数学。从常量数学到变量数学，是数学思想方法的又一次重大突破。
一、变量数学产生的历史背景
变量数学是相对常量数学而言的数学领域。常量数学的对象主要是固定不变的图形和数量，它包括算术、初等代数、初等几何和三角等分支学科。常量数学是描述静态事物的有力工具，可是，对于描述事物的运动和变化却是无能为力的。因此，从常量数学发展到变量数学，就成为历史的必然了。
变量数学之所以产生于17世纪，是有其特定的历史背景的。
从自然科学的发展来看，变量数学是在回答16、17世纪自然科学提出的大量数学问题过程中，酝酿和创立起来的。我们知道，随着欧洲封建社会的解体和资本主义工厂手工业向机器大生产的过渡，自然科学开始从神学的桎梏下解放出来，大踏步地前进。这时，社会生产和自然科学向数学提出了一系列与运动变化有关的新问题。这些新问题，大体可以分为以下五种类型。
第一类问题是描述非匀速运动物体的轨迹。如行星绕日运动的轨迹、各种抛射物体的运动轨迹。
第二类问题是求变速运动物体的速度、加速度和路程。如已知变速运动物体在某段时间内经过的路程，求物体在任意时刻的速度和加速度，或反过来由速度求路程。
第三类问题是求曲线在任一点的切线。如光线在曲面上的反射角问题，运动物体在其轨迹上任一点的运动方向问题。
第四类问题是求变量的极值。如斜抛物体的最大水平距离问题，行星绕日运动的近日点和远日点问题。
第五类问题是计算曲线长度、曲边形面积、曲面体体积、物体的重心以及大质量物体之间的引力等。
上述各类问题尽管内容和提法不同，但从思想方法上看，它们有一个共同的特征，就是要求研究变量及其相互关系。这是16、17世纪数学研究的中心课题，正是对这个中心课题的深入研究，最终导致了变量数学的产生。
从数学的发展来看，变量数学的基础理论-微积分，早在微积分诞生之前的二千多年，就已经有了它的思想萌芽。
公元前5世纪，希腊学者德漠克利特为解决不可公度问题，创立起数学的原子论。它的基本思想是：直线可分为若干小线段，小线段又可再分更小的线段，直至成为点而不可再分，故称点为直线的数学原子即不可分量。平面图形同样可以如此分下去，使得线段成为平面图形的数学原子。利用数学原子概念，德漠克利特求得锥体的体积等于等底等高圆柱的1/3.
公元前4世纪，希腊学者欧道克斯在前人工作的基础上，创立了求曲边形面积和曲面体体积的一般方法-穷竭法。运用此法，他成功地证明了“圆面积与直径的平方成正比例”和“球体积与其直径的立方成比例”等命题。
微积分的早期先驱者主要是阿基米德，他继承和发展了穷竭法，并应用这一方法解决了诸如抛物线弓形等许多复杂的曲边形面积。继阿基米德之后，微积分的思想方法逐渐成熟起来，其中作出重大贡献的有开普勒、伽利略、卡瓦列利、华利斯、笛卡儿、费尔马和巴罗等人。巴罗甚至接触到了微积分的基本原理-微分和积分的互逆关系。
总之，变量数学的产生不仅有其特定的生产和自然科学背景，而且也是数学自身矛盾运动的必然结果。它是经过相当长时间的酝酿，在16、17世纪生产和自然科学需要的刺激下，经过许多人的努力而准备好由“潜”到“显”过渡的条件的。
二、变量数学的创始及其意义
变量数学由“潜”到“显”的过渡经历了两个具有决定性的重大步骤：一是解析几何的产生，二是微积分的创立。前者为变量数学的创始提供了直接的前提，后者是变量数学创始的主要标志。
微积分的主要创始人是牛顿和莱布尼茨。他们最大的功绩是明确地提出了微分法和积分法，并把两者有机结合起来，建立了微积分的基本原理（牛顿-莱布尼茨公式）。
牛顿主要是从运动学来研究和建立微积分的。他的微积分思想最早出现在1665年5月20日的一页文件中，这一天可做为微积分诞生的日子。他称连续的变量为“流动量”，用符号x、y、z等字母表示，称它们的导数为“流数”，用加小点的字母来表示，如x、y、z等，称微分为“瞬”。
莱布尼茨是从几何学的角度创立微积分的。他的微积分思想最先出现在1675年的手稿之中，他所发明的微积分符号，远远优于牛顿的符号，对微积分后来的发展有重大的影响。现今通用的符号dx、dy、∫等，就是莱布尼茨当年精心选择和创设的。
继牛顿和莱布尼茨之后，18世纪对微积分的创立和发展作出卓越贡献的有欧拉、伯努利家族、泰勒、马克劳林、达朗贝尔、拉格朗日等人。17、18世纪的数学，几乎让微积分占据了主导地位，绝大部分的数学家都被这一新兴的学科所吸引，可见微积分产生意义之重大。
变量数学创始的两个决定性步骤都是在17世纪完成的，因此17世纪也就成了常量数学向变量数学转变的时期。变量数学的产生，是数学史乃至整个科学史的一件大事。它来自于生产技术、自然科学发展的需要以及数学自身的矛盾运动，又回过头来对生产技术、自然科学以及数学自身的发展产生巨大而深远的影响。
首先，变量数学的产生，为自然科学描述现实世界的各种运动和变化提供了有效的工具。我们知道，在现实世界中，“静”和“不变”总是暂时的、相对的，“动”和“变”则是永恒的、绝对的。“整个自然界，从最小的东西到最大的东西，从沙粒到太阳，从原生生物到人，都处于永恒的产生和消灭中，处于不断的流动中，处于无休止的运动和变化中。”可见，自然科学的对象是运动变化着的物质世界，变量数学的产生，为自然科学精确地描述物质世界的运动、变化规律提供了不可缺少的工具。变量数学对于现代生产技术、自然科学的发展，就像望远镜对于天文学、显微镜对于生物学的发展一样重要。假设没有变量数学，现代物质文明建设将是不可想象的事。
其次，变量数学的产生，带来了数学自身的巨大进步。变量数学是从常量数学发展的基础上出现的，它的产生又反过来深深影响了常量数学的发展，特别是常量数学的各个分支学科由于变量数学的渗透而在内容上得到极大的丰富，在思想方法上发生一连串深刻的变革，并由此产生出许多新的分支学科。解析数论和微分几何等分支学科，就是变量数学的思想方法向传统数论和传统几何渗透的产物。就变量数学本身而言，由于它在生产技术和自然科学中有着广泛的应用，所以它一产生出来就得到蓬勃而迅速的发展，并由此相继派生出许多新的分支学科，逐渐形成一个庞大的体系，如级数论、常微分方程论、偏微分方程论、差分学、复变函数论、实变函数论、积分方程、泛函分析等。总之，变量数学无论从内容、思想方法上，还是从应用的范围上，很快就在整个数学中占据了主导地位，长时期以来一直规定和影响着近、现代数学发展的方向。
此外，变量数学的产生还有着深远的哲学意义。众所周知，变量数学的许多基本概念，诸如变量、函数、导数和微分，以及微分法和积分法，从哲学上看，不外是辩证法在数学中的运用，而且是辩证法在数学中取得的一次根本性胜利。正因为如此，革命导师马克思和恩格斯十分重视微积分概念和运算的历史演变，并对其进行了深刻而精辟的哲学分析。马克思在他的《数学手稿》中，运用唯物辩证法的基本观点，详细考察了微积分思想的历史演变过程，深刻揭示了微分概念和运算的辩证实质，还总结分析了不同学术观点的论争对于微分学发展的积极作用。恩格斯在他的《自然辩证法》一书中，阐述了微积分产生的重大意义，指出“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了。”他还针对微积分概念的“神秘性”，给出了微积分概念直观的现实原型，指出“自然界运用这些微分即分子时所使用的方式和所依据的规律，完全和数学运用其抽象的微分时的方式和规律相同。”由此可见，变量数学的产生使数学更加成为“辩证的辅助工具和表现方式”，又一次为辩证法的普适性从数学上提供了生动而有力的例证。
数学思想方法的重大突破 从必然数学到或然数学
文章摘要：在现实世界中存在着两类性质截然不同的现象：一类是必然现象，另一类是或然现象。描述和研究必然现象的量及其关系的数学部分，称为必然数学；描述和研究或然现象的量及其关系的数学部分，称为或然数学。从必然数学到或然数学，是数学研究对象的一次显著扩张，也是数学思想方法的又一次重大突破。…
【编者按】数学的发展并不是一些新概念、新命题、新方法的简单积累，它包含着数学本身许多根本的变化，也即质的飞跃。历史上发生的数学思想方法的几次重大突破，就充分说明了这一点。
在现实世界中存在着两类性质截然不同的现象：一类是必然现象，另一类是或然现象。描述和研究必然现象的量及其关系的数学部分，称为必然数学；描述和研究或然现象的量及其关系的数学部分，称为或然数学。从必然数学到或然数学，是数学研究对象的一次显著扩张，也是数学思想方法的又一次重大突破。
一、或然数学的现实基础
或然数学的对象是或然现象。所谓或然现象，是指这样的一类现象：它在一定条件下可能会引起某种结果，也可能不引起这种结果。也就是说，在或然现象中，条件和结果之间不存在必然性的联系。例如，投掷一枚硬币，可能出现正面，也可能出现反面。
与或然现象不同，在必然现象中，只要条件具备，某种结果就一定会发生，即条件和结果之间存在着必然性联系。因此，对于必然现象，可由条件预知结果如何。这一点正是必然数学的现实基础。例如，当我们用微分方程来定量描述某些必然现象的运动和变化过程时，只要建立起相应的微分方程式，并给定问题的初始条件，就可以通过求解微分方程预知未来某时刻这种现象的状态。19世纪英国天文学家亚当斯借助微分方程预言海王星的存在及其在天空中的位置，就是典型的一例。
由于或然现象的条件和结果之间不存在必然性的联系，因此无法用必然数学来加以精确的定量描述。例如，投掷一枚质量均匀的硬币，要想预先准确计算出它一定会出现正面或一定会出现反面，是不可能的。但是，这并不意味着或然现象不存在着数量规律，也不意味着不能从量上来描述和研究或然现象的规律。
从表面上看，或然现象是杂乱无章的，无任何规律可谈，但如果仔细考察，就会发现当同类的或然现象大量重复出现时，它在总体上将会呈现出某种规律性。
例如，一个充有有量气体分子的容器，就单个分子而言，它的运动速度和方向带有明显的或然性，每个分子对器壁的压力大小也具有或然性，因而难以对“速度”、“压力”作以定量分析。然而，实践却表明，就全体分子对器壁的压力而言，器壁所受的总压力却是一个确定的值，即大量气体分子的运动在总体上呈现出一种规律性。同样，当多次重复地投掷一枚质量均匀的硬币时，将会发现出现正面的次数与总投掷次数之比总是在1/2左右摆，而且随着投掷次数的增加，这个比越来越接近1/2.
大量同类或然现象所呈现出来的集体规律性，叫做统计规律性。这种统计规律性的存在，就是或然数学的现实基础。
统计规律性是基于大量或然现象而言的。这里的“大量”包含两层意思：其一是某一或然现象在相同的条件下多次甚至无限地重复出现，如多次投掷硬币，连续发射炮弹，连日观测气温等。其二是众多的同类或然现象同时发生，如容器内的气体分子，电子束中的电子，小麦的催芽试验等。
由于统计规律是一种宏观性的、总体性的规律，不同于单个事物或现象表现出那种“微观性”的规律，因此或然数学在研究方法上有其自身的特殊性。统计方法就是它的一种基本研究方法。统计方法的基本思想是：从一组样本分析、判断整个对象系统的性质和特征。统计方法的逻辑依据是“由局部到整体”、“由特殊到一般”，是归纳推理在数学上的一种具体应用。
二、或然数学的产生和发展
概率论是或然数学的一门基础理论，也是历史上最先出现的或然数学的分支学科。它的创立可作为或然数学产生的标志。
概率论创立于17世纪，但它的思想萌芽至少可追溯到16世纪。在自然界和社会生活中存在着各种各类的或然现象，但最先引起数学家们注意的则是中的问题。16世纪意大利数学家卡当曾计算过掷两颗或三颗骰子时，在所有可能方法中有多少种方法能得到某一预想的总点数。他的研究成果集中体现在他的《论》一书中。由于中的概率问题最为典型，因此，从这类问题着手研究或然现象的数量规律，便成为当时数学研究的一个重要课题。
促使概率论产生的直接动力是社会保险事业的需要。17世纪资本主义工业与商业的兴起和发展，使社会保险事业应运而生。这就刺激了数学家们对概率问题研究的兴趣，因为保险公司需要计算各种意外事件发生的概率，如火灾、水灾和死亡等。由于概率论的思想与方法在保险理论、人口统计、射击理论、财政预算、产品检验以及医学、物理学和天文学中有着广泛的应用，因此，它很快就成为许多数学家认真探讨的一个研究领域。作为数学的一个分支学科，它是经17世纪许多数学家之手创立起来的。其中作出突出贡献的有帕斯卡、费尔马、惠更斯和雅各·伯努利等人。
概率论的许多重要定理是在18世纪提出和建立起来的。例如，棣美佛在他的《机会的学问》一书中，提出了著名的“棣美佛—拉普拉斯中心极限定理”的一种特殊情况。拉普拉斯提出了这一定理的一般情况，他撰写的两部著作《分析概率论》和《概率的哲学探讨》，具有重要的理论和应用价值。蒲丰在其《或然算术试验》一书中，提出了有名的“蒲丰问题”，对这一问题的研究，后来导致了著名的蒙特卡洛方法的产生。高斯和泊松也对概率论作出了重要贡献，高斯奠定了最小二乘法和误差理论的基础，泊松提出了一种重要的概率分布—泊松分布。
从19世纪末开始，随着生产和科学技术中的概率问题的大量出现，概率论得到迅速发展，并不断地派生出一系列新的分支理论。俄国的马尔科夫创立的马尔科夫过程论，在原子物理、理论物理、化学和公共事业等方面有着广泛的应用。此外，还有平稳随机过程论、随机微分方程论、多元分析、试验分析、概率逻辑、数理统计、统计物理学、统计生物学、统计医学等等。目前，或然数学已成为具有众多分支的庞大数学部门，它仍处在发展之中，它的理论和方法在科学技术、工农业生产、国防和国民经济各部门日益得到更加广泛的应用。
数学思想方法的重大突破 从明晰数学到模糊数学
文章摘要：20世纪60年代，随着现代科学技术的发展，数学领域又产生出了一支新秀-模糊数学。模糊数学无论在研究对象还是在思想方法上，都与已有的数学有着质的不同。它的产生不仅极大地拓展了数学的研究范围，而且带来了数学思想方法的一次重大突破。…
【编者按】数学的发展并不是一些新概念、新命题、新方法的简单积累，它包含着数学本身许多根本的变化，也即质的飞跃。历史上发生的数学思想方法的几次重大突破，就充分说明了这一点。
20世纪60年代，随着现代科学技术的发展，数学领域又产生出了一支新秀-模糊数学。模糊数学无论在研究对象还是在思想方法上，都与已有的数学有着质的不同。它的产生不仅极大地拓展了数学的研究范围，而且带来了数学思想方法的一次重大突破。
一、模糊数学产生的背景
模糊数学是在特定的历史背景中产生的，它是数学适应现代科学技术需要的产物。
首先，现实世界中存在着大量模糊的量，对这类量的描述和研究需要一种新的数学工具。我们知道，现实世界中的量是多种多样的，如果按着界限是否分明，可把这无限多样的量分为两类：一类是明晰的，另一类是模糊的。实践表明，在自然界、生产、科学技术以及生活中，模糊的量是普遍存在的。例如“高压”、“低温”、“偏上”、“适度”、“附近”、“美丽”、“温和”、“老年”、“健康”等等。这些概念作为现实世界事物和现象的状态反映，在量上是没有明晰界限的。
模糊数学产生之前的数学，只能精确地描述和研究那些界限分明的量，即明晰的量，把它们用于描述和研究模糊的量就失效了。对那些模糊的量，只有用一种“模糊”的方法去描述和处理，才能使结果符合实际。因此，随着社会实践的深化和科学技术的发展，对“模糊”数学方法进行研究也就成为十分必要的了。
其次，电子计算机的发展为模糊数学的诞生准备了摇篮。自本世纪40年代电子计算机问世以来，电子计算机在生产、科学技术各领域的应用日益广泛。电子计算机发展的一个重要方向是模拟人脑的思维，以便能处理生物系统、航天系统以及各种复杂的社会系统。而人脑本身就是一种极其复杂的系统。人脑中的思维活动之所以具有高度的灵活性，能够应付复杂多变的环境，一个重要原因是逻辑思维和非逻辑思维同时在起作用。一般说来，逻辑思维活动可用明晰数学来描述和刻画，而非逻辑思维活动却具有很大的模糊性，无法用明晰数学来描述和刻划。因此，以二值逻辑为理论基础的电子计算机，也就无法真实地模拟人脑的思维活动，自然也就不具备人脑处理复杂问题的能力。这对电子计算机特别是人工智能的发展，无疑是一个极大的障碍。为了把人的自然语言算法化并编入程序，让电子计算机能够描述和处理那些具有模糊量的事物，从而完成更为复杂的工作，就必须建立起一种能够描述和处理模糊的量及其关系的数学理论。这就是模糊数学产生的直接背景。
模糊数学的创立者是美国加利福尼亚大学的札德教授。为了改进和提高电子计算机的功能，他认真研究了传统数学的基础-集合论。他认为，要想从根本上解决电子计算机发展与数学工具局限性的矛盾，必须建立起一种新的集合理论。1965年，他发表了题为《模糊集合》的论文，由此开拓出了模糊数学这一新的数学领域。
二、模糊数学的理论基础
明晰数学的理论基础是普通集合论，模糊数学的理论基础则是模糊集合论。札德也正是从模糊集合论着手，建立起模糊数学的。
模糊集合论与普通集合论的根本区别，在于两者赖以存在的基本概念-集合的意义不同。普通集合论的基本概念是普通集合即明晰集合。对于这种集合，一个事物与它有着明确的隶属关系，要么属于这个集合，要么不属于这个集合，两者必居其一，不可模棱两可。如果用函数关系式表示，可写成
这里的A(u)称为集合A的特征函数。特征函数的逻辑基础是二值逻辑，它是对事物“非此即彼”状态的定量描述，但不能用于刻划某些事物在中介过渡时所呈现出的“亦此亦彼”性。例如，取A为老年人集合，u为一个年龄为50岁的人，我们拿不出什么令人信服的理由来确定A(u)的值是1还是0.这正是普通集合论的局限之所在。
与普通集合不同，模糊集合的逻辑基础是多值逻辑。对于这种集合，一个事物与它没有“属于”或“不属于”这种绝对分明的隶属关系，因而也就不能用特征函数A(u)来描述。那么，怎样才能定量地描述模糊集合的性质和特征呢?模糊集合论的创立者札德给出了隶属函数的概念，用以代替普通集合论中的特征函数概念。隶属函数的实质，是将特征函数由二值{0，1｝推广到[0，1]闭区间上的任意值。通常把隶属函数表示为μ(u)，它满足
0≤μ(u)≤1（或记作μ(u)∈[0，1]）
有了隶属函数概念，就可给模糊集合下一个准确的定义了。札德在1965年的论文中给出了如下的定义：
隶属函数的选取是一个较为复杂的问题，目前还没有一个固定和通用的模式，它依问题的不同可以有不同的表达形式。在许多情况下，它是凭借经验或统计分析确定的。
例如，某小组有五名同学，记作u1，u2，u3，u4，u5，取论域.现在取为由“性格稳重”的同学组成的集合，显然这是一个模糊集合。为确定每个同学隶属于的程度，我们分别给每个同学的性格稳重程度打分，按百分制给分，再除以100.
这里实际上就是求隶属函数，如果打分的结果是
u1得85分，u2得75分，u3得98分，u4得30分，u5得60分
那么隶属函数的值应是
可表示为
还可表示为
或
普通集合与模糊集合有着内在的联系，这可由特征函数A(u)和隶属函数的关系来分析。事实上，当隶属函数只取[0,1]闭区间的两端点值0，1时，隶属函数也就退化为特征函数A(u)，从而模糊子集也就转化为普通集合A.这就表明普通集合是模糊集合的特殊情况，模糊集合是普通集合的推广，它们既相互区别，又相互联结，而且在一定条件下相互转化。正因为有此内在的联系，决定了模糊数学可以广泛地使用明晰数学的方法，从明晰数学到模糊数学存在着由此达彼的桥梁。
模糊数学作为一门新兴的数学学科，虽然它的历史很短，但由于它是在现代科学技术迫切需要下应运而生的，因而对于它的研究，无论是基础理论还是实际应用，都得到了迅速的发展。
就其基础理论而言，模糊数学研究的课题已涉及到广泛的范围，如模糊数、模糊关系、模糊矩阵、模糊图、模糊映射和变换、模糊概率、模糊判断、模糊规划、模糊逻辑、模糊识别和模糊控制等。
在应用方面，模糊数学的思想与方法正在广泛渗透到科学和技术的各个领域，如物理学、化学、生物学、医学、心理学、气象学、地质学、经济学、语言学、系统论、信息论、控制论和人工智能等。同时，在工农业生产的许多部门已取得明显的社会效益。
数学思想方法的重大突破 从手工证明到机器证明
文章摘要：机器证明是20世纪50年代开始兴起的一个数学领域，也是现代人工智能发展的一个重要方向。从传统的手工证明到定理的机器证明，是现代数学思想方法的一次重大突破。
【编者按】数学的发展并不是一些新概念、新命题、新方法的简单积累，它包含着数学本身许多根本的变化，也即质的飞跃。历史上发生的数学思想方法的几次重大突破，就充分说明了这一点。
