学案49 圆的方程
导学目标： 1.掌握确定圆的几何要素.2.掌握圆的标准方程与一般方程.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
变式迁移1 根据下列条件，求圆的方程．
探究点二 圆的几何性质的应用
一、选择题(每小题5分，共25分)
二、填空题(每小题4分，共12分)
学案49 圆的方程
自主梳理
1．定点 定长 集合 2.圆心 半径 3.(a，b) r
4．D2＋E2－4F>0 －D2，－E2 D2＋E2－4F2
5．(1)根据题意，选择标准方程或一般方程 (2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组 (3)解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程 6.(1)＝ (2)> (3)<
自我检测
1．D 2.A 3.A
4．(－1－73，－1)∪(12，－1＋73)
5．(x－2)2＋(－1)2＝5
课堂活动区
例1 解题导引 (1)一可以利用圆的一般式方程，通过转化三个独立条件，得到有关三个待定字母的关系式求解；二可以利用圆的方程的标准形式，由条件确定圆心和半径．
(2)一般地，求圆的方程时，当条件中给出的是圆上若干点的坐标，较适合用一般式，通过解三元方程组求待定系数；当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某直线上、圆的切线方程、圆的弦长等条件，适合用标准式．
解 方法一 设圆心为C，
所求圆的方程为x2＋2＋Dx＋E＋F＝0，
则圆心C－D2，－E2.∴CB＝6＋E28＋D2.
由CBl＝－1，
∴6＋E28＋D2－13＝－1.①
又有(－2)2＋(－4)2－2D－4E＋F＝0，②
又82＋62＋8D＋6E＋F＝0.③
解①②③，可得D＝－11，E＝3，F＝－30.
∴所求圆的方程为x2＋2－11x＋3－30＝0.
方法二 设圆的圆心为C，则CB⊥l，从而可得CB所在直线的方程为－6＝3(x－8)，即3x－－18＝0.①
由A(－2，－4)，B(8,6)，得AB的中点坐标为(3,1)．
又AB＝6＋48＋2＝1，
∴AB的垂直平分线的方程为－1＝－(x－3)，
即x＋－4＝0.②
由①②联立后，解得x＝112，＝－32.即圆心坐标为112，－32.
∴所求圆的半径r＝112－82＋－32－62＝1252.
∴所求圆的方程为x－1122＋＋322＝1252.
变式迁移1 解 (1)设所求圆的圆心Q的坐标为(a，b)，圆Q的方程为(x－a)2＋(－b)2＝42，又∵OQ＝6，
∴联立方程0－a2＋0－b2＝62－1－a2＋3－b2＝16，
解得a＝－3，b＝33，
所以所求圆的方程为(x＋3)2＋(－33)2＝16.
(2)
如图，因为圆周被直线3x＋4＋15＝0分成1∶2两部分，所以∠AOB＝120°，而圆心(0,0)到直线3x＋4＋15＝0的距离d＝1532＋42＝3，在△AOB中，可求得OA＝6.
所以所求圆的方程为x2＋2＝36.
例2 解题导引 (1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算．
(2)本题利用方程思想求值，即“列出的方程”求值．
解 方法一 将x＝3－2，
代入方程x2＋2＋x－6＋＝0，
得52－20＋12＋＝0.
设P(x1，1)，Q(x2，2)，则1、2满足条件：
1＋2＝4，12＝12＋5.
∵OP⊥OQ，∴x1x2＋12＝0.
而x1＝3－21，x2＝3－22.
∴x1x2＝9－6(1＋2)＋412.
∴9－6(1＋2)＋512＝0，
∴9－6×4＋5×12＋5＝0，
∴＝3，此时1＋36－3×4>0，圆心坐标为－12，3，半径r＝52.
方法二
如图所示，
设弦PQ中点为M，
∵O1M⊥PQ，
∴O1M＝2.
又圆心坐标为－12，3，
∴O1M的方程为－3＝2x＋12，即＝2x＋4.
由方程组＝2x＋4，x＋2－3＝0，解得M的坐标为(－1,2)．
则以PQ为直径的圆可设为(x＋1)2＋(－2)2＝r2.
∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上．
∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r2，即r2＝5，MQ2＝r2.
在Rt△O1MQ中，O1M2＋MQ2＝O1Q2.
∴－12＋12＋(3－2)2＋5＝1＋－62－44.
∴＝3.∴半径为52，圆心为－12，3.
变式迁移2 解 (1)∵M的坐标为(3，1)，∴M到x轴的距离为1，即圆M的半径为1，
则圆M的方程为(x－3)2＋(－1)2＝1.
设圆N的半径为r，
连接MA，NC，OM，
则MA⊥x轴，NC⊥x轴，
由题意知：M，N点都在∠COD的平分线上，
∴O，M，N三点共线．
由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，
|OM|∶|ON|＝|MA|∶|NC|，即23＋r＝1rr＝3，
则OC＝33，则圆N的方程为(x－33)2＋(－3)2＝9.
(2)由对称性可知，所求的弦长等于过A点与MN平行的直线被圆N截得的弦的长度，
此弦的方程是＝33(x－3)，即x－3－3＝0，
圆心N到该直线的距离d＝32，
则弦长为2r2－d2＝33.
例3 解题导引 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：
(1)形如μ＝－bx－a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t＝ax＋b形式的最值问题，可转化为动直线截距的.最值问题；(3)形如(x－a)2＋(－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
解 (1)－x可看作是直线＝x＋b在轴上的截距，当直线＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6.
所以－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.
(2)x2＋2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为2－02＋0－02＝2，
所以x2＋2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，
x2＋2的最小值是(2－3)2＝7－43.
变式迁移3 解 设P(x，)，
则P点的轨迹就是已知圆C：(x－3)2＋(－3)2＝6.
而x的几何意义就是直线OP的斜率，
设x＝，则直线OP的方程为＝x.
当直线OP与圆相切时，斜率取最值．
因为点C到直线＝x的距离d＝|3－3|2＋1，
所以当|3－3|2＋1＝6，
即＝3±22时，直线OP与圆相切．
即x的最大值为3＋22，最小值为3－22.
课后练习区
1．B [圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(－3)2＝10，由圆的性质可知最长弦|AC|＝210，最短弦BD恰以E(0,1)为中心，设点F为其圆心，坐标为(1,3)．
故EF＝5，∴BD＝210－52＝25，
∴S四边形ABCD＝12ACBD＝102.]
2．D 3.A 4.B 5.A
6．(x＋1)2＋2＝2 7.(x－2)2＋(－1)2＝2 8.0
9．解 (1)∵AB的中垂线方程为3x＋2－15＝0，
由3x＋2－15＝0，3x＋10＋9＝0，解得x＝7，＝－3.(3分)
∴圆心为C(7，－3)．又|CB|＝65，
故所求圆的方程为(x－7)2＋(＋3)2＝65.(6分)
(2)设圆的方程为x2＋2＋Dx＋E＋F＝0，将P、Q点的坐标分别代入得2D－4E－F＝20，3D－E＋F＝－10. ① ②
(8分)
又令＝0，得x2＋Dx＋F＝0，③
由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36.④
由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0.
故所求圆的方程为x2＋2－2x－4－8＝0，或x2＋2－6x－8＝0.(12分)
10．解 (1)设t＝x＋，则＝－x＋t，t可视为直线＝－x＋t的纵截距，所以x＋的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距．
由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，
即|2＋－3－t|2＝1，解得t＝2－1或t＝－2－1，
所以x＋的最大值为2－1，
最小值为－2－1.(4分)
(2)x可视为点(x，)与原点连线的斜率，x的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆有公共点时斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．
设过原点的直线方程为＝x，由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，即|2－－3|1＋2＝1，
解得＝－2＋233或＝－2－233，
所以x的最大值为－2＋233，
最小值为－2－233.(8分)
(3)x2＋2＋2x－4＋5，
即[x－－1]2＋－22，其最值可视为点(x，)到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．
又因为圆心到定点(－1,2)的距离为34，所以x2＋2＋2x－4＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1.(12分)
11．解 建立如图所示的坐标系，设该圆拱所在圆的方程为x2＋2＋Dx＋E＋F＝0，由于圆心在轴上，所以D＝0，那么方程即为x2＋2＋E＋F＝0.(3分)
下面用待定系数法来确定E、F的值．
因为P、B都在圆上，所以它们的坐标(0,4)、(10,0)都是这个圆的方程的解，
于是有方程组42＋4E＋F＝0，102＋F＝0，(7分)
解得F＝－100，E＝21.
∴这个圆的方程是x2＋2＋21－100＝0.(10分)
把点P2的横坐标x＝－2代入这个圆的方程，
得(－2)2＋2＋21－100＝0，2＋21－96＝0.
∵P2的纵坐标>0，故应取正值，
∴＝－21＋212＋4×962≈3.86(米)．
所以支柱A2P2的高度约为3.86米．(14分)
5 O
