一、求除数类
1.若ac=bc=r.则cㄏ(a-b)。
例1.一个数去除551，745，1133这3个数，余数都相同。问这个数最大可能是几?
解：745-551=194，1133-745=388。(194，388)=194，所以这个数最大是194。
2.若ac=bc=r2， r1+ r2=d.则cㄏ(a+b-d)。
例2.有一个整数，用它分别去除157，234和324，得到的三个余数之和是100。求这个整数?
解：157+324+234-100=615，615=3541。1003=331，即最小的除数应大于34，小于157。所以满足条件的有41、123两个，经过验算可知正确答案为41。小学数学复习中，这个例题要认真了解。
二、求余数类
例1.已知整数n除以42余12，求n除余21的余数?
解：由已知条件可知，n=42的倍数+12=21的2倍的倍数+12。所以，n除以21的余数为12。
例2.有一个整数，除1200，1314，1048所得的余数都相同且大于5。问：这个相同的余数是多少?
解：因为
1314-1200=114=338，
1200-1048=152=438。
某自然数应当是这两个差的公约数，即38。又因为
120038=31(余22)
131438=34(余22)。
所以，这个相同的余数是22。
例3.求19901990除以3所得的.余数?
解：由同余的性质可知：对于同一个模，同余的乘方仍同余。
因为，
1990被3除余1，即19901990119901，
所以19901990除以3所得的余数为1。
例4.有一个77位数，它的各位数字都是1，这个数除以7，余数是多少?
解：根据被7整除的特征知，111111能被7整除。
77 6=12(余5)，
111117=1587(余2)。
所以，这个数除以7的余数是2。
例5.1，1，2，3，5，8，13，，90个数排成一列，从第三个数起，每个数都等于它前面两个数的和。那么，这90个数的和除以5的余数是多少?
解：这一列数被5除的余数依次为1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，。
余数从头起20个数一个周期循环出现，而且这20个数的和40又恰为5的倍数。
9020=4(余10)
这列数中前10个数的余数和为
1+1+2+3+0+3+3+1+4+0=18
185=3(余3)
所以，这90个数的和除以5的余数为3。
